Ejercicio 13:
Usando las leyes del algebra de conjuntos, probar que:
a) (A ⋂ B) – C = (A – C) ⋂ (B – C)
b) ( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = A ⋃ B

a)     (A ⋂ B) – C     =   (A – C) ⋂ (B – C)       
        (A ⋂ B) – C     =   (A ⋂ B) ⋂ ∁C                     [Teorema]
                               =   ( A ⋂ B) ⋂ ( ∁C ⋂ ∁c)      [
Idempotencia]
                               =    A ⋂ ( B ⋂ ∁C) ⋂ ∁C        [Asociativa]
                               =    A ⋂ (∁C ⋂ B) ⋂ ∁C         [Conmutativa]
                               =    (A ⋂ ∁C) ⋂ (B ⋂ ∁C)       [Asociativa]
                               =    (A – C) ⋂ (B –C)                [Teorema]

 b)( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)  = A ⋃ B
    ( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)  = [(A ⋂ B) ⋃ ( ∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)  [Asociativa]
                                                            = [(A ⋃ ∁A) ⋂ B] ⋃ (A ⋂ ∁B)           [Distributiva]
                                                            = (U ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)            [Complementación]
                                                            = B ⋃ (A ⋂ ∁B)                                    [Identidad]
                                                            = (B ⋃ A) ⋂ (B ⋃ ∁B)                      [Distributiva]
                                                            = (B ⋃ A) ⋂ U                        [Complementación]
                                                            = B ⋃ A                                                [Identidad]
                                                            = A ⋃ B                                           [Conmutativa]
Ejercicio 12:
Probar las leyes de complementación del algebra de conjuntos.
a)∁u = ∅
b)∁(∁A) = A

a)∁u = ∅
   ∁u = ∁u
U
   ∁u = U - U
   ∁u = ∅

b)∁(∁A) = A


   X ∊ ∁(∁A)  ↔  X   ∉    ∁A
                      ↔  ~ ( X ∊ ∁A)
                      ↔  ~ ( X ∉ A)
                      ↔  X ∊ A
∁(∁A) = A
Ejercicio 11: 
Probar las leyes de identidad y de dominación del algebra de conjuntos.
a)A ⋃ ∅ = A
b)A ⋂ U  = A

a)A ⋃ ∅ = A
   

X ∊ A ⋃ ∅  ↔   ( x ∊ A)  ∨  (x ∊ ∅)      [Definición de unión]
                    ↔   ( x ∊ A)   V  (0)
                    ↔   x ∊ A                              [Identidad]

 b)A ⋂ U = A
   

 X ∊ A ⋂ U    ↔   x ∊ A    ∧    x ∊ U   [Definición de intersección]   
                      ↔   x ∊ A     ∧  1
                      ↔   x ∊ A                       [Identidad]
Ejercicio 10:
Si   U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}              A = {x ∊ U/x  es par}
      B = { x ∊ U/ x es primo}                    D = {x ∊ U/ x no es divisor de 9}


Hallar :
∁ (A ⋃ B)
A ∆ B – A ∆ D
A ∆ B ∆ D

1)  A ⋃ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
     ∁ (A ⋃ B) = U – (A ⋃ B)
     ∁ (A ⋃ B) = {1,9}

 2) A ∆ B = (A – B) ⋃ (B – A)
               = {4,  6, 8} ⋃ { 3, 5, 7}

 A ∆ B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}

 A ∆ D = (A – D) ⋃ (D – A)
            = ∅  ⋃ { 5, 7}

(A ∆ B) – (A ∆ D)  = {3, 4, 6, 8]

 3)A ∆ B ∆ D = (A ∆ B) ∆ D
           A ∆ B = ( A- B) ⋃ (B – A)
                     = {4, 6, 8} ⋃ {3, 5, 7}

 A ∆ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

 A ∆ B ∆ D = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∆ { 2, 4, 5, 6, 7, 8}

 A ∆ B ∆ D = {3} ⋃ {2}

 A ∆ B ∆ D = {2,3}
Ejercicio 9: unión e intersección de conjuntos
Probar que:   A ⋂ (B ⋃ C)  = ( A  ⋂ B ) ⋃ C    ↔    C ⊂ A
Probar que:   A ⋃  B   ≠   ∅  → A  ≠ ∅   V   B  ≠ ∅

(→)          M:   A ⋂ ( B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
                 T:   C ⊂ A

X ∊ C  → X ∊ C   V   X ∊ A ⋂ B      [ley de adición]
            →X ∊ A ⋂ B   V   X ∊ C       [ley conmutativa]
            →X ∊ (A ⋂B) ⋃ C               [definición de unión]
           →X  ∊ A  ⋂ (B ⋃ C)             [hipótesis]
           →X  ∊ A   ʌ   X∊ (B⋃C)        [definición de intersección]
           →X  ∊ A                                [ley de simplificación]
C ⊂ A


 (←)        M: C  ⊂  A
                T: A ⋂ (B ⋃ C)  = (A ⋂ B)  ⋃  C

A ⋃  B   ≠   ∅  ↔   A  ≠ ∅   V   B  ≠ ∅
A ⋃  B   ≠   ∅  ↔   ∃ x = x  ∊ A ⋃ B                         [ Definición de conjunto vacio]
                        ↔    ∃ x = x∊ A   ˅   x ∊ B                 [Definición de unión]
                        ↔    ∃  x =x ∊ A   V  ∃x = x∊ B
                        ↔    A ≠∅    V   B ≠ ∅                       [Definición de conjunto vacio]
Ejercicio 8:
Expresar por extensión los siguientes  conjuntos.
H = {x ∊ Q / x = 3n  +  ¼  , n ∊ Ƶ , -1 <  n  ˂ 2 }
B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X } 

a)  H = {x ∊ Q / x = 3n  +  ¼  , n ∊ Ƶ , -1 <  n  ˂ 2 }

Tenemos   n ∊ {-1, 0 , 1}    entonces




n= -1         x =   3(-1) + ¼
                 x =   - 11/4 ∊ Q 
 
n= 0           x = 3(0)  + ¼
                  x = 1/4 ∊ Q

n= 1           x =  3(1) + ¼
                  x =  13/4 ∊ Q

               H = { -11/4, ¼ , 13/4]

b)  B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X } 


Tenemos       xᶟ = X   ↔   xᶟ -X = 0  
  ↔   x (x² - 1) =0
  ↔   x(x – 1) (x +1) =0
  ↔   x = 0   V    x – 1=0
  ↔   x=0     V    x=1

              B = {-1 , 0 ,1}
Ejercicio 7 :
Si  A = {-1 ,-2,  3}  Y  B = {4 , 5, 7}  hallar un contra ejemplo  para cada una de las siguientes proposiciones .


a)  ( ∀ x  ∊  A) (∀ Y ∊ B)
b)   (∀  x ∊  A) ( /x/ = x)

      A= {-1 , -2, 3}       B = {4, 5, 7}

a)  (∀ x ∊  A) (∀ Y ∊ B) (y – x ˂ 1)


Contra ejemplo:


Si       x = -2  ∊ A           Y =7


Entonces
         Y – x = 7 –( -2)
                  = 9 ˃ 1


b) (∀  x ∊  A) ( /x/ = x)


Contra ejemplo:


Si        x =  -2 ∊ A


Entonces
           /x/  =   /-2 /   = 2 
           /x/  =    2    ≠    -2 = x