Ejercicio 13:
Usando las leyes del algebra de conjuntos, probar que:
a) (A ⋂ B) – C = (A – C) ⋂ (B – C)
b) ( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = A ⋃ B
a) (A ⋂ B) – C =
(A – C) ⋂ (B – C)
(A ⋂ B) – C = (A
⋂ B) ⋂ ∁C [Teorema]
=
( A ⋂ B) ⋂ ( ∁C ⋂ ∁c) [Idempotencia]
=
A ⋂ ( B ⋂ ∁C) ⋂ ∁C
[Asociativa]
=
A ⋂ (∁C ⋂ B) ⋂ ∁C
[Conmutativa]
=
(A ⋂ ∁C) ⋂ (B ⋂ ∁C) [Asociativa]
=
(A – C) ⋂ (B –C) [Teorema]
b)( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = A ⋃
B
( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = [(A ⋂ B) ⋃ ( ∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) [Asociativa]
= [(A ⋃ ∁A) ⋂ B] ⋃ (A ⋂ ∁B) [Distributiva]
= (U ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) [Complementación]
= B ⋃ (A ⋂ ∁B) [Identidad]
= (B ⋃ A) ⋂ (B ⋃ ∁B) [Distributiva]
= (B ⋃ A) ⋂ U [Complementación]
= B ⋃ A [Identidad]
= A ⋃ B [Conmutativa]
Basic math UNY
Bienvenidos a mi blog creado con una finalidad educativa en el que podrán encontrar diversos ejercicios de la materia matemática basica.
Ejercicio 11:
Probar las leyes de identidad y de dominación del algebra de conjuntos.
a)A ⋃ ∅ = A
b)A ⋂ U = A
a)A ⋃ ∅ = A
X ∊ A ⋃ ∅ ↔ ( x ∊ A) ∨ (x ∊ ∅) [Definición de unión]
↔ ( x ∊ A) V (0)
↔ x ∊ A [Identidad]
b)A ⋂ U = A
X ∊ A ⋂ U ↔ x ∊ A ∧ x ∊ U [Definición de intersección]
↔ x ∊ A ∧ 1
↔ x ∊ A [Identidad]
Probar las leyes de identidad y de dominación del algebra de conjuntos.
a)A ⋃ ∅ = A
b)A ⋂ U = A
a)A ⋃ ∅ = A
X ∊ A ⋃ ∅ ↔ ( x ∊ A) ∨ (x ∊ ∅) [Definición de unión]
↔ ( x ∊ A) V (0)
↔ x ∊ A [Identidad]
b)A ⋂ U = A
X ∊ A ⋂ U ↔ x ∊ A ∧ x ∊ U [Definición de intersección]
↔ x ∊ A ∧ 1
↔ x ∊ A [Identidad]
Ejercicio 10:
Si U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {x ∊ U/x es par}
B = { x ∊ U/ x es primo} D = {x ∊ U/ x no es divisor de 9}
Hallar :
∁ (A ⋃ B)
A ∆ B – A ∆ D
A ∆ B ∆ D
1) A ⋃ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∁ (A ⋃ B) = U – (A ⋃ B)
∁ (A ⋃ B) = {1,9}
2) A ∆ B = (A – B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ { 3, 5, 7}
A ∆ B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ D = (A – D) ⋃ (D – A)
= ∅ ⋃ { 5, 7}
(A ∆ B) – (A ∆ D) = {3, 4, 6, 8]
3)A ∆ B ∆ D = (A ∆ B) ∆ D
A ∆ B = ( A- B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ {3, 5, 7}
A ∆ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∆ { 2, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = {3} ⋃ {2}
A ∆ B ∆ D = {2,3}
Si U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {x ∊ U/x es par}
B = { x ∊ U/ x es primo} D = {x ∊ U/ x no es divisor de 9}
Hallar :
∁ (A ⋃ B)
A ∆ B – A ∆ D
A ∆ B ∆ D
1) A ⋃ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∁ (A ⋃ B) = U – (A ⋃ B)
∁ (A ⋃ B) = {1,9}
2) A ∆ B = (A – B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ { 3, 5, 7}
A ∆ B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ D = (A – D) ⋃ (D – A)
= ∅ ⋃ { 5, 7}
(A ∆ B) – (A ∆ D) = {3, 4, 6, 8]
3)A ∆ B ∆ D = (A ∆ B) ∆ D
A ∆ B = ( A- B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ {3, 5, 7}
A ∆ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∆ { 2, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = {3} ⋃ {2}
A ∆ B ∆ D = {2,3}
Ejercicio 9: unión e intersección de conjuntos
Probar que: A ⋂ (B ⋃ C) = ( A ⋂ B ) ⋃ C ↔ C ⊂ A
Probar que: A ⋃ B ≠ ∅ → A ≠ ∅ V B ≠ ∅
(→) M: A ⋂ ( B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
T: C ⊂ A
X ∊ C → X ∊ C V X ∊ A ⋂ B [ley de adición]
→X ∊ A ⋂ B V X ∊ C [ley conmutativa]
→X ∊ (A ⋂B) ⋃ C [definición de unión]
→X ∊ A ⋂ (B ⋃ C) [hipótesis]
→X ∊ A ʌ X∊ (B⋃C) [definición de intersección]
→X ∊ A [ley de simplificación]
C ⊂ A
(←) M: C ⊂ A
T: A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ A ≠ ∅ V B ≠ ∅
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ ∃ x = x ∊ A ⋃ B [ Definición de conjunto vacio]
↔ ∃ x = x∊ A ˅ x ∊ B [Definición de unión]
↔ ∃ x =x ∊ A V ∃x = x∊ B
↔ A ≠∅ V B ≠ ∅ [Definición de conjunto vacio]
Probar que: A ⋂ (B ⋃ C) = ( A ⋂ B ) ⋃ C ↔ C ⊂ A
Probar que: A ⋃ B ≠ ∅ → A ≠ ∅ V B ≠ ∅
(→) M: A ⋂ ( B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
T: C ⊂ A
X ∊ C → X ∊ C V X ∊ A ⋂ B [ley de adición]
→X ∊ A ⋂ B V X ∊ C [ley conmutativa]
→X ∊ (A ⋂B) ⋃ C [definición de unión]
→X ∊ A ⋂ (B ⋃ C) [hipótesis]
→X ∊ A ʌ X∊ (B⋃C) [definición de intersección]
→X ∊ A [ley de simplificación]
C ⊂ A
(←) M: C ⊂ A
T: A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ A ≠ ∅ V B ≠ ∅
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ ∃ x = x ∊ A ⋃ B [ Definición de conjunto vacio]
↔ ∃ x = x∊ A ˅ x ∊ B [Definición de unión]
↔ ∃ x =x ∊ A V ∃x = x∊ B
↔ A ≠∅ V B ≠ ∅ [Definición de conjunto vacio]
Ejercicio 8:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos.
H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
a) H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
Tenemos n ∊ {-1, 0 , 1} entonces
n= -1 x = 3(-1) + ¼
x = - 11/4 ∊ Q
n= 0 x = 3(0) + ¼
x = 1/4 ∊ Q
n= 1 x = 3(1) + ¼
x = 13/4 ∊ Q
H = { -11/4, ¼ , 13/4]
b) B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
Tenemos xᶟ = X ↔ xᶟ -X = 0
↔ x (x² - 1) =0
↔ x(x – 1) (x +1) =0
↔ x = 0 V x – 1=0
↔ x=0 V x=1
B = {-1 , 0 ,1}
Expresar por extensión los siguientes conjuntos.
H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
a) H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
Tenemos n ∊ {-1, 0 , 1} entonces
n= -1 x = 3(-1) + ¼
x = - 11/4 ∊ Q
n= 0 x = 3(0) + ¼
x = 1/4 ∊ Q
n= 1 x = 3(1) + ¼
x = 13/4 ∊ Q
H = { -11/4, ¼ , 13/4]
b) B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
Tenemos xᶟ = X ↔ xᶟ -X = 0
↔ x (x² - 1) =0
↔ x(x – 1) (x +1) =0
↔ x = 0 V x – 1=0
↔ x=0 V x=1
B = {-1 , 0 ,1}
Ejercicio 7 :
Si A = {-1 ,-2, 3} Y B = {4 , 5, 7} hallar un contra ejemplo para cada una de las siguientes proposiciones .
a) ( ∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B)
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
A= {-1 , -2, 3} B = {4, 5, 7}
a) (∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B) (y – x ˂ 1)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A Y =7
Entonces
Y – x = 7 –( -2)
= 9 ˃ 1
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A
Entonces
/x/ = /-2 / = 2
/x/ = 2 ≠ -2 = x
Si A = {-1 ,-2, 3} Y B = {4 , 5, 7} hallar un contra ejemplo para cada una de las siguientes proposiciones .
a) ( ∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B)
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
A= {-1 , -2, 3} B = {4, 5, 7}
a) (∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B) (y – x ˂ 1)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A Y =7
Entonces
Y – x = 7 –( -2)
= 9 ˃ 1
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A
Entonces
/x/ = /-2 / = 2
/x/ = 2 ≠ -2 = x
Suscribirse a:
Entradas (Atom)