Ejercicio 13:
Usando las leyes del algebra de conjuntos, probar que:
a) (A ⋂ B) – C = (A – C) ⋂ (B – C)
b) ( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = A ⋃ B

a)     (A ⋂ B) – C     =   (A – C) ⋂ (B – C)       
        (A ⋂ B) – C     =   (A ⋂ B) ⋂ ∁C                     [Teorema]
                               =   ( A ⋂ B) ⋂ ( ∁C ⋂ ∁c)      [
Idempotencia]
                               =    A ⋂ ( B ⋂ ∁C) ⋂ ∁C        [Asociativa]
                               =    A ⋂ (∁C ⋂ B) ⋂ ∁C         [Conmutativa]
                               =    (A ⋂ ∁C) ⋂ (B ⋂ ∁C)       [Asociativa]
                               =    (A – C) ⋂ (B –C)                [Teorema]

 b)( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)  = A ⋃ B
    ( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)  = [(A ⋂ B) ⋃ ( ∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)  [Asociativa]
                                                            = [(A ⋃ ∁A) ⋂ B] ⋃ (A ⋂ ∁B)           [Distributiva]
                                                            = (U ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B)            [Complementación]
                                                            = B ⋃ (A ⋂ ∁B)                                    [Identidad]
                                                            = (B ⋃ A) ⋂ (B ⋃ ∁B)                      [Distributiva]
                                                            = (B ⋃ A) ⋂ U                        [Complementación]
                                                            = B ⋃ A                                                [Identidad]
                                                            = A ⋃ B                                           [Conmutativa]
Ejercicio 12:
Probar las leyes de complementación del algebra de conjuntos.
a)∁u = ∅
b)∁(∁A) = A

a)∁u = ∅
   ∁u = ∁u
U
   ∁u = U - U
   ∁u = ∅

b)∁(∁A) = A


   X ∊ ∁(∁A)  ↔  X   ∉    ∁A
                      ↔  ~ ( X ∊ ∁A)
                      ↔  ~ ( X ∉ A)
                      ↔  X ∊ A
∁(∁A) = A
Ejercicio 11: 
Probar las leyes de identidad y de dominación del algebra de conjuntos.
a)A ⋃ ∅ = A
b)A ⋂ U  = A

a)A ⋃ ∅ = A
   

X ∊ A ⋃ ∅  ↔   ( x ∊ A)  ∨  (x ∊ ∅)      [Definición de unión]
                    ↔   ( x ∊ A)   V  (0)
                    ↔   x ∊ A                              [Identidad]

 b)A ⋂ U = A
   

 X ∊ A ⋂ U    ↔   x ∊ A    ∧    x ∊ U   [Definición de intersección]   
                      ↔   x ∊ A     ∧  1
                      ↔   x ∊ A                       [Identidad]
Ejercicio 10:
Si   U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}              A = {x ∊ U/x  es par}
      B = { x ∊ U/ x es primo}                    D = {x ∊ U/ x no es divisor de 9}


Hallar :
∁ (A ⋃ B)
A ∆ B – A ∆ D
A ∆ B ∆ D

1)  A ⋃ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
     ∁ (A ⋃ B) = U – (A ⋃ B)
     ∁ (A ⋃ B) = {1,9}

 2) A ∆ B = (A – B) ⋃ (B – A)
               = {4,  6, 8} ⋃ { 3, 5, 7}

 A ∆ B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}

 A ∆ D = (A – D) ⋃ (D – A)
            = ∅  ⋃ { 5, 7}

(A ∆ B) – (A ∆ D)  = {3, 4, 6, 8]

 3)A ∆ B ∆ D = (A ∆ B) ∆ D
           A ∆ B = ( A- B) ⋃ (B – A)
                     = {4, 6, 8} ⋃ {3, 5, 7}

 A ∆ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

 A ∆ B ∆ D = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∆ { 2, 4, 5, 6, 7, 8}

 A ∆ B ∆ D = {3} ⋃ {2}

 A ∆ B ∆ D = {2,3}
Ejercicio 9: unión e intersección de conjuntos
Probar que:   A ⋂ (B ⋃ C)  = ( A  ⋂ B ) ⋃ C    ↔    C ⊂ A
Probar que:   A ⋃  B   ≠   ∅  → A  ≠ ∅   V   B  ≠ ∅

(→)          M:   A ⋂ ( B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
                 T:   C ⊂ A

X ∊ C  → X ∊ C   V   X ∊ A ⋂ B      [ley de adición]
            →X ∊ A ⋂ B   V   X ∊ C       [ley conmutativa]
            →X ∊ (A ⋂B) ⋃ C               [definición de unión]
           →X  ∊ A  ⋂ (B ⋃ C)             [hipótesis]
           →X  ∊ A   ʌ   X∊ (B⋃C)        [definición de intersección]
           →X  ∊ A                                [ley de simplificación]
C ⊂ A


 (←)        M: C  ⊂  A
                T: A ⋂ (B ⋃ C)  = (A ⋂ B)  ⋃  C

A ⋃  B   ≠   ∅  ↔   A  ≠ ∅   V   B  ≠ ∅
A ⋃  B   ≠   ∅  ↔   ∃ x = x  ∊ A ⋃ B                         [ Definición de conjunto vacio]
                        ↔    ∃ x = x∊ A   ˅   x ∊ B                 [Definición de unión]
                        ↔    ∃  x =x ∊ A   V  ∃x = x∊ B
                        ↔    A ≠∅    V   B ≠ ∅                       [Definición de conjunto vacio]
Ejercicio 8:
Expresar por extensión los siguientes  conjuntos.
H = {x ∊ Q / x = 3n  +  ¼  , n ∊ Ƶ , -1 <  n  ˂ 2 }
B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X } 

a)  H = {x ∊ Q / x = 3n  +  ¼  , n ∊ Ƶ , -1 <  n  ˂ 2 }

Tenemos   n ∊ {-1, 0 , 1}    entonces




n= -1         x =   3(-1) + ¼
                 x =   - 11/4 ∊ Q 
 
n= 0           x = 3(0)  + ¼
                  x = 1/4 ∊ Q

n= 1           x =  3(1) + ¼
                  x =  13/4 ∊ Q

               H = { -11/4, ¼ , 13/4]

b)  B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X } 


Tenemos       xᶟ = X   ↔   xᶟ -X = 0  
  ↔   x (x² - 1) =0
  ↔   x(x – 1) (x +1) =0
  ↔   x = 0   V    x – 1=0
  ↔   x=0     V    x=1

              B = {-1 , 0 ,1}
Ejercicio 7 :
Si  A = {-1 ,-2,  3}  Y  B = {4 , 5, 7}  hallar un contra ejemplo  para cada una de las siguientes proposiciones .


a)  ( ∀ x  ∊  A) (∀ Y ∊ B)
b)   (∀  x ∊  A) ( /x/ = x)

      A= {-1 , -2, 3}       B = {4, 5, 7}

a)  (∀ x ∊  A) (∀ Y ∊ B) (y – x ˂ 1)


Contra ejemplo:


Si       x = -2  ∊ A           Y =7


Entonces
         Y – x = 7 –( -2)
                  = 9 ˃ 1


b) (∀  x ∊  A) ( /x/ = x)


Contra ejemplo:


Si        x =  -2 ∊ A


Entonces
           /x/  =   /-2 /   = 2 
           /x/  =    2    ≠    -2 = x 
Ejercicio 6:
Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones.
                     a) (∀ x ∊ ℝ)   (∀ y ∊ ℝ)   (x² + y²  > 0)
                     b) (∃ x  ∊ ℝ)   ( ∃ y ∊ ℝ)   (∃ x ∊ ℝ) (2x + 3y = Ƶ)

a) (∀ x ∊ ℝ) (∀ y ∊ ℝ)    (x² + y² > 0)
      

     ∀ x ∊ ℝ  = x²  > 0   ˄  ∀ y ∊ ℝ  = y²  mayor que 0
          

              Además           x² + y² >  0


Valor  lógico =1

b) (∃ x ∊ ℝ)  ( ∃ y ∊ ℝ )  (∃ Ƶ  ∊ ℝ)  (2x + 3y = Ƶ)
 

Valor lógico =1
Ejercicio 5:
Hallar el dominio de verdad de cada una de las siguientes funciones proposicionales
(B, Q(x)) , donde   B={0,1,2,3}   Y   Q(x):  x² -x =6
(C, S (Y)), donde  C={1,2,3,4,5}  Y   S(y):  y+y²  es impar
(Ƶ, Q(x)), donde   Ƶ  es el conjunto de números enteros y Q(x) :  x+1     ˂ 0
                                                                                                                 x-5

Q (0) =    0² - 0 = 6            
                      0 = 6      Falso

Q (1) =    1² -  1 = 6
                       0 = 6     Falso

Q (2) =    2² -  2 = 6
                       2 = 6      Falso

Q (3) =    3² -  3 = 6
                       6 = 6      Verdadero



Dominio de verdad = {3}
    
S (1) = 1+1² es impar        
                2 es impar           Falso

S (2) =  2+2² es impar
                  6 es impar         Falso

S (3) = 3+3² es impar
              12 es impar           Falso

S (4) =  4+4² es impar
                20 es impar         Falso

S (5) =  5+5² es impar
                30 es impar         Falso


              Dominio de verdad =  ø


Q (x) =    x + 1    ˂ 0             
               X - 5

Caso I :      X + 1  ˃  0       ʌ     X - 5 ˂0
                        X  ˃ -1       ʌ          X ˂ 5

  









Sol  I : X €  {0,1,2,3,4}


Caso II :      X + 1 ˂ 0     ʌ    X-  5 ˃ 0
                        X ˂ -1     ʌ         X ˃ 5















Sol II: ø

Dominio de verdad = sol I ᴜ Sol II 
                                                        = {0, 1, 2, 3, 4}
Ejercicio 4
Probar deductivamente que:
  1.  P  →  (q  → r)
  2.  r   →   (s   →  ~t)
  3.  b   v     (s  ʌ  t)
       p  →    (q  →  b)
 
5.      b                                      caso 1 en [3]
6.      b  v  (~p  v  ~q)               ley de adicción en [4]
7.      (~p  v  ~q)  v  b               ley conmutativa en [5]
8.      ~p  v  (~q  v  b)               ley asociativa [6]
9.       p  →  (q  →  b)              ley del condicional en [7]

  1.   R    →   p
  2.   ~p   v  (~q  ʌ  r)
  3.   t      v   r  →  h
  4.   r      v   ~h
        Q   →   ~t

5.    r                         caso 1 en [4]
6.    p                        modus
ponendo ponens en [1] y[5]
7.    ~q  ʌ  r               silogismo disyuntivo en [2] y [6]
8.    ~q                       ley de simplificación en [7]
9.    ~q   v  ~t            ley de adicción en [8]
10.   q  →  ~t             ley condicional en [9]
 Ejercicio 3
9.k – Probar deductivamente que:


(~r   ʌ  q)  →  ~(q → p)       ≡  (p ʌ q) → r
(~r   ʌ  q)  →  ~(q → p)       ≡   ~(~r  ʌ  q)   v  ~(~q  v  p)  [ley del condicional]
                                           ≡   (~~r  v  ~q)  v  (~~q  ʌ  ~p)  [ley de Morgan]
                                           ≡   (r  v  ~q)  v  (q  ʌ ~p)  [ley de negación]
                                           ≡    r   v  [~q  v  (q  ʌ  ~p)]  [ley asociativa]
                                           ≡    r  v  [(~q  v  q)  ʌ  (~q  v  ~p)]  [ley distributiva]
                                           ≡    r  v  [1  ʌ  (~q  v  ~p)]  [ley de tercio excluido]
                                           ≡    r  v  (~q  v  ~p)  [ley de identidad]
                                           ≡    (~p   v  ~q)   v  r  [ley conmutativa]
                                           ≡     ~(p   ʌ  q)  v  r  [ley de Morgan]
                             








[(p ʌ r)   v   (~q v r)   v   (p  ʌ ~r)]   ʌ  [(~r  ʌ p)   v  (~r v ~q)   v  (r ʌ q)]         [asociativa y conmutativa]
{[(p ʌ r)  v  (p  ʌ ~r)]   v  (~q  v r )}   ʌ   {[(~r  ʌ  p) v ~r]   v  [~q v (r ʌ q)]}       [distributiva y absorción]
{[p  ʌ  (r  v ~r)]   v  (~q v r) }   ʌ   {~r v [(~q v r) ʌ (~q v q)]}                                   [ Tercio excluido]
[(p ʌ 1)  v  (~q v r)]   ʌ   { ~r v [(~q v r  ʌ 1]}                                                                [Identidad]
[p  v  (~q v r)]   ʌ   [~r  v (~q v r)]                                                                   [asociativa y conmutativa]
[p  v  (~q v r)]   ʌ   [(~r v r) v  ~q]                                                                           [Tercio excluido]
[p  v  (~q v r)]   ʌ   (1 v ~q) 
[p  v  (~q v r)]   ʌ   1                                                                                                [Dominación]
P  v  (~q v r)                                                                                                              [Identidad]             
Ejercicios 2
Por ley del condicional 
p    →  q   ≡   ~p  v  q    


Demostración
(p     →     q)   ↔    (~p     v      q )
 1      1     1       1        0      1      1
 1      0     0       0        0      1      0
 0      1     1       1        1      1      1
 0      1     0       1        1      1      0
 
Por ley del contra recíproco
P    →  q   ≡  ~q    →  ~p


Demostración
( p   →     q)      ↔    (~q   →   ~p)
 1     1      1        0        0     0      0         
 1     0      0        1        1     0      0
 0     1      1        0        0     0      1
 0     1      0        0        1     0      1 
                                                                   
Por reducción al absurdo
p    →  q  ≡  (p  ^  ~q    →   0 )


Demostración
P     →    q    ↔ ( p     ^     ~q     →    0 )
1      1     1     1     1      0     0       1     0
1      0     0     1     1      1     1       0     0 
0      1     1     1     0      0     0       1     0 
0      1     0     1     0      0     1       1     0
Ejercicio 1
Tautología: es una forma  proposicional  que  es  verdadera  para  cualquier valor lógico que se le  asigne a sus variables proposicionales.


Ejemplo:
(p   →    q)    ↔   (~p   v     q)
 1     1     1      1       0     1    1
 1     0     0      1       0     0    0
 0     1     1      1       1     1    1
 0     1     0      1       1     1    0

Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.


Ejemplo: 
~    [(p  →   q)    ↔   (~p     v   q)]
0      1    1    1      1        0    1    1
0      1    0    0      1        0    0    0
0      0    1    1      1        1    1    1
0      0    1    0      1        1    1    0