Ejercicio 13:
Usando las leyes del algebra de conjuntos, probar que:
a) (A ⋂ B) – C = (A – C) ⋂ (B – C)
b) ( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = A ⋃ B
a) (A ⋂ B) – C =
(A – C) ⋂ (B – C)
(A ⋂ B) – C = (A
⋂ B) ⋂ ∁C [Teorema]
=
( A ⋂ B) ⋂ ( ∁C ⋂ ∁c) [Idempotencia]
=
A ⋂ ( B ⋂ ∁C) ⋂ ∁C
[Asociativa]
=
A ⋂ (∁C ⋂ B) ⋂ ∁C
[Conmutativa]
=
(A ⋂ ∁C) ⋂ (B ⋂ ∁C) [Asociativa]
=
(A – C) ⋂ (B –C) [Teorema]
b)( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = A ⋃
B
( A ⋂ B) ⋃ (∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) = [(A ⋂ B) ⋃ ( ∁A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) [Asociativa]
= [(A ⋃ ∁A) ⋂ B] ⋃ (A ⋂ ∁B) [Distributiva]
= (U ⋂ B) ⋃ (A ⋂ ∁B) [Complementación]
= B ⋃ (A ⋂ ∁B) [Identidad]
= (B ⋃ A) ⋂ (B ⋃ ∁B) [Distributiva]
= (B ⋃ A) ⋂ U [Complementación]
= B ⋃ A [Identidad]
= A ⋃ B [Conmutativa]
Bienvenidos a mi blog creado con una finalidad educativa en el que podrán encontrar diversos ejercicios de la materia matemática basica.
Ejercicio 11:
Probar las leyes de identidad y de dominación del algebra de conjuntos.
a)A ⋃ ∅ = A
b)A ⋂ U = A
a)A ⋃ ∅ = A
X ∊ A ⋃ ∅ ↔ ( x ∊ A) ∨ (x ∊ ∅) [Definición de unión]
↔ ( x ∊ A) V (0)
↔ x ∊ A [Identidad]
b)A ⋂ U = A
X ∊ A ⋂ U ↔ x ∊ A ∧ x ∊ U [Definición de intersección]
↔ x ∊ A ∧ 1
↔ x ∊ A [Identidad]
Probar las leyes de identidad y de dominación del algebra de conjuntos.
a)A ⋃ ∅ = A
b)A ⋂ U = A
a)A ⋃ ∅ = A
X ∊ A ⋃ ∅ ↔ ( x ∊ A) ∨ (x ∊ ∅) [Definición de unión]
↔ ( x ∊ A) V (0)
↔ x ∊ A [Identidad]
b)A ⋂ U = A
X ∊ A ⋂ U ↔ x ∊ A ∧ x ∊ U [Definición de intersección]
↔ x ∊ A ∧ 1
↔ x ∊ A [Identidad]
Ejercicio 10:
Si U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {x ∊ U/x es par}
B = { x ∊ U/ x es primo} D = {x ∊ U/ x no es divisor de 9}
Hallar :
∁ (A ⋃ B)
A ∆ B – A ∆ D
A ∆ B ∆ D
1) A ⋃ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∁ (A ⋃ B) = U – (A ⋃ B)
∁ (A ⋃ B) = {1,9}
2) A ∆ B = (A – B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ { 3, 5, 7}
A ∆ B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ D = (A – D) ⋃ (D – A)
= ∅ ⋃ { 5, 7}
(A ∆ B) – (A ∆ D) = {3, 4, 6, 8]
3)A ∆ B ∆ D = (A ∆ B) ∆ D
A ∆ B = ( A- B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ {3, 5, 7}
A ∆ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∆ { 2, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = {3} ⋃ {2}
A ∆ B ∆ D = {2,3}
Si U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {x ∊ U/x es par}
B = { x ∊ U/ x es primo} D = {x ∊ U/ x no es divisor de 9}
Hallar :
∁ (A ⋃ B)
A ∆ B – A ∆ D
A ∆ B ∆ D
1) A ⋃ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∁ (A ⋃ B) = U – (A ⋃ B)
∁ (A ⋃ B) = {1,9}
2) A ∆ B = (A – B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ { 3, 5, 7}
A ∆ B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ D = (A – D) ⋃ (D – A)
= ∅ ⋃ { 5, 7}
(A ∆ B) – (A ∆ D) = {3, 4, 6, 8]
3)A ∆ B ∆ D = (A ∆ B) ∆ D
A ∆ B = ( A- B) ⋃ (B – A)
= {4, 6, 8} ⋃ {3, 5, 7}
A ∆ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∆ { 2, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∆ B ∆ D = {3} ⋃ {2}
A ∆ B ∆ D = {2,3}
Ejercicio 9: unión e intersección de conjuntos
Probar que: A ⋂ (B ⋃ C) = ( A ⋂ B ) ⋃ C ↔ C ⊂ A
Probar que: A ⋃ B ≠ ∅ → A ≠ ∅ V B ≠ ∅
(→) M: A ⋂ ( B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
T: C ⊂ A
X ∊ C → X ∊ C V X ∊ A ⋂ B [ley de adición]
→X ∊ A ⋂ B V X ∊ C [ley conmutativa]
→X ∊ (A ⋂B) ⋃ C [definición de unión]
→X ∊ A ⋂ (B ⋃ C) [hipótesis]
→X ∊ A ʌ X∊ (B⋃C) [definición de intersección]
→X ∊ A [ley de simplificación]
C ⊂ A
(←) M: C ⊂ A
T: A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ A ≠ ∅ V B ≠ ∅
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ ∃ x = x ∊ A ⋃ B [ Definición de conjunto vacio]
↔ ∃ x = x∊ A ˅ x ∊ B [Definición de unión]
↔ ∃ x =x ∊ A V ∃x = x∊ B
↔ A ≠∅ V B ≠ ∅ [Definición de conjunto vacio]
Probar que: A ⋂ (B ⋃ C) = ( A ⋂ B ) ⋃ C ↔ C ⊂ A
Probar que: A ⋃ B ≠ ∅ → A ≠ ∅ V B ≠ ∅
(→) M: A ⋂ ( B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
T: C ⊂ A
X ∊ C → X ∊ C V X ∊ A ⋂ B [ley de adición]
→X ∊ A ⋂ B V X ∊ C [ley conmutativa]
→X ∊ (A ⋂B) ⋃ C [definición de unión]
→X ∊ A ⋂ (B ⋃ C) [hipótesis]
→X ∊ A ʌ X∊ (B⋃C) [definición de intersección]
→X ∊ A [ley de simplificación]
C ⊂ A
(←) M: C ⊂ A
T: A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ C
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ A ≠ ∅ V B ≠ ∅
A ⋃ B ≠ ∅ ↔ ∃ x = x ∊ A ⋃ B [ Definición de conjunto vacio]
↔ ∃ x = x∊ A ˅ x ∊ B [Definición de unión]
↔ ∃ x =x ∊ A V ∃x = x∊ B
↔ A ≠∅ V B ≠ ∅ [Definición de conjunto vacio]
Ejercicio 8:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos.
H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
a) H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
Tenemos n ∊ {-1, 0 , 1} entonces
n= -1 x = 3(-1) + ¼
x = - 11/4 ∊ Q
n= 0 x = 3(0) + ¼
x = 1/4 ∊ Q
n= 1 x = 3(1) + ¼
x = 13/4 ∊ Q
H = { -11/4, ¼ , 13/4]
b) B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
Tenemos xᶟ = X ↔ xᶟ -X = 0
↔ x (x² - 1) =0
↔ x(x – 1) (x +1) =0
↔ x = 0 V x – 1=0
↔ x=0 V x=1
B = {-1 , 0 ,1}
Expresar por extensión los siguientes conjuntos.
H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
a) H = {x ∊ Q / x = 3n + ¼ , n ∊ Ƶ , -1 < n ˂ 2 }
Tenemos n ∊ {-1, 0 , 1} entonces
n= -1 x = 3(-1) + ¼
x = - 11/4 ∊ Q
n= 0 x = 3(0) + ¼
x = 1/4 ∊ Q
n= 1 x = 3(1) + ¼
x = 13/4 ∊ Q
H = { -11/4, ¼ , 13/4]
b) B = {X ∊ Ƶ / xᶟ = X }
Tenemos xᶟ = X ↔ xᶟ -X = 0
↔ x (x² - 1) =0
↔ x(x – 1) (x +1) =0
↔ x = 0 V x – 1=0
↔ x=0 V x=1
B = {-1 , 0 ,1}
Ejercicio 7 :
Si A = {-1 ,-2, 3} Y B = {4 , 5, 7} hallar un contra ejemplo para cada una de las siguientes proposiciones .
a) ( ∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B)
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
A= {-1 , -2, 3} B = {4, 5, 7}
a) (∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B) (y – x ˂ 1)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A Y =7
Entonces
Y – x = 7 –( -2)
= 9 ˃ 1
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A
Entonces
/x/ = /-2 / = 2
/x/ = 2 ≠ -2 = x
Si A = {-1 ,-2, 3} Y B = {4 , 5, 7} hallar un contra ejemplo para cada una de las siguientes proposiciones .
a) ( ∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B)
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
A= {-1 , -2, 3} B = {4, 5, 7}
a) (∀ x ∊ A) (∀ Y ∊ B) (y – x ˂ 1)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A Y =7
Entonces
Y – x = 7 –( -2)
= 9 ˃ 1
b) (∀ x ∊ A) ( /x/ = x)
Contra ejemplo:
Si x = -2 ∊ A
Entonces
/x/ = /-2 / = 2
/x/ = 2 ≠ -2 = x
Ejercicio 6:
Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones.
a) (∀ x ∊ ℝ) (∀ y ∊ ℝ) (x² + y² > 0)
b) (∃ x ∊ ℝ) ( ∃ y ∊ ℝ) (∃ x ∊ ℝ) (2x + 3y = Ƶ)
a) (∀ x ∊ ℝ) (∀ y ∊ ℝ) (x² + y² > 0)
∀ x ∊ ℝ = x² > 0 ˄ ∀ y ∊ ℝ = y² mayor que 0
Además x² + y² > 0
Valor lógico =1
b) (∃ x ∊ ℝ) ( ∃ y ∊ ℝ ) (∃ Ƶ ∊ ℝ) (2x + 3y = Ƶ)
Valor lógico =1
Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones.
a) (∀ x ∊ ℝ) (∀ y ∊ ℝ) (x² + y² > 0)
b) (∃ x ∊ ℝ) ( ∃ y ∊ ℝ) (∃ x ∊ ℝ) (2x + 3y = Ƶ)
a) (∀ x ∊ ℝ) (∀ y ∊ ℝ) (x² + y² > 0)
∀ x ∊ ℝ = x² > 0 ˄ ∀ y ∊ ℝ = y² mayor que 0
Además x² + y² > 0
Valor lógico =1
b) (∃ x ∊ ℝ) ( ∃ y ∊ ℝ ) (∃ Ƶ ∊ ℝ) (2x + 3y = Ƶ)
Valor lógico =1
Ejercicio 5:
Hallar el dominio de verdad de cada una de las siguientes funciones proposicionales
(B, Q(x)) , donde B={0,1,2,3} Y Q(x): x² -x =6
(C, S (Y)), donde C={1,2,3,4,5} Y S(y): y+y² es impar
(Ƶ, Q(x)), donde Ƶ es el conjunto de números enteros y Q(x) : x+1 ˂ 0
x-5
Q (0) = 0² - 0 = 6
0 = 6 Falso
Q (1) = 1² - 1 = 6
0 = 6 Falso
Q (2) = 2² - 2 = 6
2 = 6 Falso
Q (3) = 3² - 3 = 6
6 = 6 Verdadero
Dominio de verdad = {3}
S (1) = 1+1² es impar
2 es impar Falso
S (2) = 2+2² es impar
6 es impar Falso
S (3) = 3+3² es impar
12 es impar Falso
S (4) = 4+4² es impar
20 es impar Falso
S (5) = 5+5² es impar
30 es impar Falso
Dominio de verdad = ø
Q (x) = x + 1 ˂ 0
X - 5
Caso I : X + 1 ˃ 0 ʌ X - 5 ˂0
X ˃ -1 ʌ X ˂ 5
Sol I : X € {0,1,2,3,4}
Caso II : X + 1 ˂ 0 ʌ X- 5 ˃ 0
X ˂ -1 ʌ X ˃ 5
Sol II: ø
Dominio de verdad = sol I ᴜ Sol II
= {0, 1, 2, 3, 4}
Hallar el dominio de verdad de cada una de las siguientes funciones proposicionales
(B, Q(x)) , donde B={0,1,2,3} Y Q(x): x² -x =6
(C, S (Y)), donde C={1,2,3,4,5} Y S(y): y+y² es impar
(Ƶ, Q(x)), donde Ƶ es el conjunto de números enteros y Q(x) : x+1 ˂ 0
x-5
Q (0) = 0² - 0 = 6
0 = 6 Falso
Q (1) = 1² - 1 = 6
0 = 6 Falso
Q (2) = 2² - 2 = 6
2 = 6 Falso
Q (3) = 3² - 3 = 6
6 = 6 Verdadero
Dominio de verdad = {3}
S (1) = 1+1² es impar
2 es impar Falso
S (2) = 2+2² es impar
6 es impar Falso
S (3) = 3+3² es impar
12 es impar Falso
S (4) = 4+4² es impar
20 es impar Falso
S (5) = 5+5² es impar
30 es impar Falso
Dominio de verdad = ø
Q (x) = x + 1 ˂ 0
X - 5
Caso I : X + 1 ˃ 0 ʌ X - 5 ˂0
X ˃ -1 ʌ X ˂ 5
Sol I : X € {0,1,2,3,4}
Caso II : X + 1 ˂ 0 ʌ X- 5 ˃ 0
X ˂ -1 ʌ X ˃ 5
Sol II: ø
Dominio de verdad = sol I ᴜ Sol II
= {0, 1, 2, 3, 4}
Ejercicio 4
Probar deductivamente que:
1. P → (q → r)
2. r → (s → ~t)
3. b v (s ʌ t)
p → (q → b)
5. b caso 1 en [3]
6. b v (~p v ~q) ley de adicción en [4]
7. (~p v ~q) v b ley conmutativa en [5]
8. ~p v (~q v b) ley asociativa [6]
9. p → (q → b) ley del condicional en [7]
1. R → p
2. ~p v (~q ʌ r)
3. t v r → h
4. r v ~h
Q → ~t
5. r caso 1 en [4]
6. p modus ponendo ponens en [1] y[5]
7. ~q ʌ r silogismo disyuntivo en [2] y [6]
8. ~q ley de simplificación en [7]
9. ~q v ~t ley de adicción en [8]
10. q → ~t ley condicional en [9]
Probar deductivamente que:
1. P → (q → r)
2. r → (s → ~t)
3. b v (s ʌ t)
p → (q → b)
5. b caso 1 en [3]
6. b v (~p v ~q) ley de adicción en [4]
7. (~p v ~q) v b ley conmutativa en [5]
8. ~p v (~q v b) ley asociativa [6]
9. p → (q → b) ley del condicional en [7]
1. R → p
2. ~p v (~q ʌ r)
3. t v r → h
4. r v ~h
Q → ~t
5. r caso 1 en [4]
6. p modus ponendo ponens en [1] y[5]
7. ~q ʌ r silogismo disyuntivo en [2] y [6]
8. ~q ley de simplificación en [7]
9. ~q v ~t ley de adicción en [8]
10. q → ~t ley condicional en [9]
Ejercicio 3
9.k – Probar deductivamente que:
(~r ʌ q) → ~(q → p) ≡ (p ʌ q) → r
(~r ʌ q) → ~(q → p) ≡ ~(~r ʌ q) v ~(~q v p) [ley del condicional]
≡ (~~r v ~q) v (~~q ʌ ~p) [ley de Morgan]
≡ (r v ~q) v (q ʌ ~p) [ley de negación]
≡ r v [~q v (q ʌ ~p)] [ley asociativa]
≡ r v [(~q v q) ʌ (~q v ~p)] [ley distributiva]
≡ r v [1 ʌ (~q v ~p)] [ley de tercio excluido]
≡ r v (~q v ~p) [ley de identidad]
≡ (~p v ~q) v r [ley conmutativa]
≡ ~(p ʌ q) v r [ley de Morgan]
[(p ʌ r) v (~q v r) v (p ʌ ~r)] ʌ [(~r ʌ p) v (~r v ~q) v (r ʌ q)] [asociativa y conmutativa]
{[(p ʌ r) v (p ʌ ~r)] v (~q v r )} ʌ {[(~r ʌ p) v ~r] v [~q v (r ʌ q)]} [distributiva y absorción]
{[p ʌ (r v ~r)] v (~q v r) } ʌ {~r v [(~q v r) ʌ (~q v q)]} [ Tercio excluido]
[(p ʌ 1) v (~q v r)] ʌ { ~r v [(~q v r ʌ 1]} [Identidad]
[p v (~q v r)] ʌ [~r v (~q v r)] [asociativa y conmutativa]
[p v (~q v r)] ʌ [(~r v r) v ~q] [Tercio excluido]
[p v (~q v r)] ʌ (1 v ~q)
[p v (~q v r)] ʌ 1 [Dominación]
P v (~q v r) [Identidad]
9.k – Probar deductivamente que:
(~r ʌ q) → ~(q → p) ≡ (p ʌ q) → r
(~r ʌ q) → ~(q → p) ≡ ~(~r ʌ q) v ~(~q v p) [ley del condicional]
≡ (~~r v ~q) v (~~q ʌ ~p) [ley de Morgan]
≡ (r v ~q) v (q ʌ ~p) [ley de negación]
≡ r v [~q v (q ʌ ~p)] [ley asociativa]
≡ r v [(~q v q) ʌ (~q v ~p)] [ley distributiva]
≡ r v [1 ʌ (~q v ~p)] [ley de tercio excluido]
≡ r v (~q v ~p) [ley de identidad]
≡ (~p v ~q) v r [ley conmutativa]
≡ ~(p ʌ q) v r [ley de Morgan]
[(p ʌ r) v (~q v r) v (p ʌ ~r)] ʌ [(~r ʌ p) v (~r v ~q) v (r ʌ q)] [asociativa y conmutativa]
{[(p ʌ r) v (p ʌ ~r)] v (~q v r )} ʌ {[(~r ʌ p) v ~r] v [~q v (r ʌ q)]} [distributiva y absorción]
{[p ʌ (r v ~r)] v (~q v r) } ʌ {~r v [(~q v r) ʌ (~q v q)]} [ Tercio excluido]
[(p ʌ 1) v (~q v r)] ʌ { ~r v [(~q v r ʌ 1]} [Identidad]
[p v (~q v r)] ʌ [~r v (~q v r)] [asociativa y conmutativa]
[p v (~q v r)] ʌ [(~r v r) v ~q] [Tercio excluido]
[p v (~q v r)] ʌ (1 v ~q)
[p v (~q v r)] ʌ 1 [Dominación]
P v (~q v r) [Identidad]
Ejercicios 2
Por ley del condicional
p → q ≡ ~p v q
Demostración
(p → q) ↔ (~p v q )
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
Por ley del contra recíproco
P → q ≡ ~q → ~p
Demostración
( p → q) ↔ (~q → ~p)
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1
Por reducción al absurdo
p → q ≡ (p ^ ~q → 0 )
Demostración
P → q ↔ ( p ^ ~q → 0 )
1 1 1 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 1 1 0
Por ley del condicional
p → q ≡ ~p v q
Demostración
(p → q) ↔ (~p v q )
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
Por ley del contra recíproco
P → q ≡ ~q → ~p
Demostración
( p → q) ↔ (~q → ~p)
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1
Por reducción al absurdo
p → q ≡ (p ^ ~q → 0 )
Demostración
P → q ↔ ( p ^ ~q → 0 )
1 1 1 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 1 1 0
Ejercicio 1
Tautología: es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.
Ejemplo:
(p → q) ↔ (~p v q)
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.
Ejemplo:
~ [(p → q) ↔ (~p v q)]
0 1 1 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 0
Tautología: es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.
Ejemplo:
(p → q) ↔ (~p v q)
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.
Ejemplo:
~ [(p → q) ↔ (~p v q)]
0 1 1 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 0
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