Basic math UNY

Ejercicio 6:
Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones.
a) (∀ x ∊ ℝ) (∀ y ∊ ℝ)   (x² + y² > 0)
b) (∃ x ∊ ℝ)   ( ∃ y ∊ ℝ)   (∃ x ∊ ℝ) (2x + 3y = Ƶ)

a) (∀ x ∊ ℝ) (∀ y ∊ ℝ)    (x² + y² > 0)

∀ x ∊ ℝ = x² > 0 ˄ ∀ y ∊ ℝ = y² mayor que 0

Además           x² + y² > 0

Valor lógico =1

b) (∃ x ∊ ℝ) ( ∃ y ∊ ℝ ) (∃ Ƶ ∊ ℝ) (2x + 3y = Ƶ)

Valor lógico =1

Ejercicio 5:
Hallar el dominio de verdad de cada una de las siguientes funciones proposicionales
(B, Q(x)) , donde   B={0,1,2,3}   Y   Q(x): x² -x =6
(C, S (Y)), donde C={1,2,3,4,5} Y   S(y): y+y² es impar
(Ƶ, Q(x)), donde   Ƶ es el conjunto de números enteros y Q(x) : x+1     ˂ 0
x-5

Q (0) =    0² - 0 = 6
                      0 = 6   Falso

Q (1) =    1² - 1 = 6
0 = 6   Falso

Q (2) =    2² - 2 = 6
2 = 6   Falso

Q (3) =    3² - 3 = 6
6 = 6   Verdadero

Dominio de verdad = {3}

S (1) = 1+1² es impar
2 es impar Falso

S (2) = 2+2² es impar
  6 es impar   Falso

S (3) = 3+3² es impar
12 es impar Falso

S (4) = 4+4² es impar
  20 es impar         Falso

S (5) = 5+5² es impar
  30 es impar         Falso

              Dominio de verdad = ø

Q (x) =    x + 1    ˂ 0
               X - 5

Caso I :      X + 1 ˃ 0       ʌ     X - 5 ˂0
  X ˃ -1       ʌ          X ˂ 5

Sol I : X € {0,1,2,3,4}

Caso II : X + 1 ˂ 0 ʌ X- 5 ˃ 0
X ˂ -1 ʌ X ˃ 5

Sol II: ø

Dominio de verdad = sol I ᴜ Sol II
= {0, 1, 2, 3, 4}

Ejercicio 4
Probar deductivamente que:
  1. P → (q → r)
2. r   →   (s   → ~t)
  3. b   v     (s ʌ t)
p →    (q → b)

5.      b                                      caso 1 en [3]
6.      b v (~p v ~q)               ley de adicción en [4]
7.      (~p v ~q) v b               ley conmutativa en [5]
8.      ~p v (~q v b)               ley asociativa [6]
9.       p → (q → b)              ley del condicional en [7]

  1. R    →   p
  2. ~p   v (~q ʌ r)
3. t      v   r → h
4. r   v   ~h
      Q   →   ~t

5.    r                         caso 1 en [4]
6.    p                        modus ponendo ponens en [1] y[5]
7.    ~q ʌ r               silogismo disyuntivo en [2] y [6]
8.    ~q                       ley de simplificación en [7]
9.    ~q   v ~t            ley de adicción en [8]
10.   q → ~t             ley condicional en [9]

Ejercicio 3
9.k – Probar deductivamente que:

(~r   ʌ q) → ~(q → p)       ≡ (p ʌ q) → r
(~r   ʌ q) → ~(q → p)       ≡   ~(~r ʌ q)   v ~(~q v p) [ley del condicional]
≡   (~~r v ~q) v (~~q ʌ ~p) [ley de Morgan]
≡   (r v ~q) v (q ʌ ~p) [ley de negación]
≡    r   v [~q v (q ʌ ~p)] [ley asociativa]
≡    r v [(~q v q) ʌ (~q v ~p)] [ley distributiva]
≡    r v [1 ʌ (~q v ~p)] [ley de tercio excluido]
≡    r v (~q v ~p) [ley de identidad]
≡    (~p   v ~q)   v r [ley conmutativa]
≡     ~(p   ʌ q) v r [ley de Morgan]

[(p ʌ r)   v   (~q v r)   v   (p ʌ ~r)]   ʌ [(~r ʌ p)   v (~r v ~q)   v (r ʌ q)]         [asociativa y conmutativa]
{[(p ʌ r) v (p ʌ ~r)]   v (~q v r )}   ʌ   {[(~r ʌ p) v ~r]   v [~q v (r ʌ q)]} [distributiva y absorción]
{[p ʌ (r v ~r)]   v (~q v r) }   ʌ   {~r v [(~q v r) ʌ (~q v q)]} [ Tercio excluido]
[(p ʌ 1) v (~q v r)]   ʌ   { ~r v [(~q v r ʌ 1]}   [Identidad]
[p v (~q v r)]   ʌ   [~r v (~q v r)] [asociativa y conmutativa]
[p v (~q v r)]   ʌ   [(~r v r) v ~q] [Tercio excluido]
[p v (~q v r)]   ʌ   (1 v ~q)
[p v (~q v r)]   ʌ   1   [Dominación]
P v (~q v r)   [Identidad]

Ejercicios 2
Por ley del condicional
p    → q   ≡   ~p v q

Demostración
(p     →     q) ↔    (~p     v q )
1 1     1       1        0      1      1
1 0    0       0        0      1      0
0 1    1       1        1      1      1
0 1    0       1        1      1      0

Por ley del contra recíproco
P    → q   ≡ ~q    → ~p

Demostración
( p   → q) ↔    (~q   → ~p)
1 1      1        0 0     0      0
1 0 0        1 1     0      0
0 1 1        0 0     0      1
0 1 0        0 1     0      1

Por reducción al absurdo
p    → q ≡ (p ^ ~q    →   0 )

Demostración
P     → q    ↔ ( p     ^     ~q → 0 )
1      1     1 1     1      0     0       1 0
1      0 0     1     1      1     1       0 0
0 1 1     1     0      0     0       1 0
0 1 0     1 0      0 1 1 0

Ejercicio 1
Tautología: es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.

Ejemplo:
(p   →    q)    ↔   (~p   v q)
1     1     1      1       0     1    1
1     0     0      1       0     0    0
0     1     1      1       1     1    1
0     1     0      1       1     1    0

Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.

Ejemplo:
~   [(p →   q) ↔   (~p v q)]
0 1    1    1      1   0    1    1
0   1    0    0      1   0    0    0
0   0    1    1      1   1    1    1
0   0    1    0      1   1    1    0